Контрольная, теория вероятности и математическая статистика

Задача 1.

Допустим, что в семье вероятность рождения мальчика и девочки одинакова.  
Какое количество детей нужно планировать семье, чтобы вероятность иметь  
хотя бы одного мальчика было больше 0,9?

Задача 2.

Урна содержит два шара, в нее опускают еще 1 белый. Затем наугад извлекают 1 шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Задача 3.

Техническое устройство состоит из трех узлов, заданы вероятности отказа каждого из них: 0,1; 0,15; 0,15. Устройство испытывают в течение времени T. Оказывается, что 2 узла оказали. Какие узлы отказали вероятнее всего?

Задача 4.

Имеется метод лечения некоторого заболевания, который в 80% случаев гарантирует выздоровление (эффективность лечения). Какова вероятность того, что из 5 больных будут здоровыми 4? Тот же вопрос при эффективности лечения 95% и 85%.

Задача 5.

В санатории проходят курс лечения 30 мужчин и 70 женщин. Мужчины с сердечными заболеваниями встречаются в 2 раза чаще, чем женщины. Наугад выбирают пациента. Какова вероятность того, что он сердечник

Задача 6.

Известно, что интервал движения между автобусами 10 минут. Пассажир в случайный момент времени приходит на остановку. Описать и исследовать такую случайную величину.

Задача 7.

Есть техническая система, включающая два датчика, которые срабатывают в случае возникновения аварийной ситуации. Вероятность безотказной работы первого датчика – 0,9, второго – 0,8. Найти вероятность того, что при аварии сработает ровно 1 датчик. Вероятность того, что сработает хотя бы один датчик?

Задача 8.

Маша поссорилась с Петей и не хочет ехать с ним в одном автобусе. От общежития до института с 7 до 8 час. отправляется пять автобусов. Не успевший на последний из этих автобусов опаздывает на первую пару. Сколькими способами Маша и Петя могут доехать до института в разных автобусах и не опоздать на пару?

Задача 9.

Определить, сколькими способами можно разместить на шахматной доске восемь ладей так, чтобы они не били друг друга?

Задача 10

Новый президент банка должен назначить двух новых вице-президентов из числа десяти директоров. Сколько способов существует у президента, если:

а) один из вице-президентов (первый) выше другого по должности;

б) вице-президенты по должности равны между собой.

Задача 11.

В кредитном отделе банка работают восемь человек. Сколько существует способов распределить между ними три премии:

а) одинакового размера;

б) разных размеров, известных заранее?

Задача 12.

В банке девять учредителей. Регистрационные документы хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, и сколько ключей к ним нужно изготовить, чтобы доступ к содержимому сейфа был возможен только тогда, когда соберётся не менее шести учредителей.