Задачи по алгебре и геометрии

1.В выпуклом четырёхугольнике ABCD дано: ∠ABC = 116*, ∠ADC = 64, ∠CAB = 35°, ∠CAD = 52. Найдите угол между диагоналями, опирающийся на сторону АВ.

2.Около треугольника АВС описана окружность с центром О, угол АОС равен 10(3. В треугольник АВС вписана окружность с центром М.Найдите угол АМС.

3.Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 5 и 12. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.

4.Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Третья окружность касается обеих окружностей и их общей касательной. Найдите радиус третьей окружности.

5.Окружность S радиуса 12 вписана в прямоугольную трапецию с основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая касается основания, большей боковой стороны и окружности S.

6.Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка С, а на другой - точки А и В, причём треугольник АВС - остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

7.Дан квадрат ABCD со стороной 17 и окружность 5 с центром в точке А радиуса 8. Найдите радиус окружности, касающейся окружности S, содержащейся внутри квадрата и касающейся двух его соседних сторон.

8.В треугольнике АВС АВ = 12, ВС = 5, СА = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB. касаются стороны AD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF.

9.Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 32, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 15. Найти радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

10. Дан отрезок длины 40. Три окружности радиуса 8 имеют центры в концах этого отрезка и на его середине. Найдите радиус четвёртой окружности, касающейся трёх данных.

11. Центр О окружности радиуса 4 принадлежит биссектрисе угла величиной 60. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равно 10.

12.Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке В. Через точку В проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке А, а большую окружность - в точке С. Известно, что АС =. Найдите ВС.

13. Партию обуви, купленную за 180 млн. руб., в первую неделю продавали по цене, больше закупочной на 25%, затем наценка была снижена до 16% от закупочной цены, а прибыль от продажи всей партии обуви составила 20%. На какую сумму продали обуви в первую неделю?

14. Цена на товар была повышена на 25%. На сколько процентов надо её снизить, чтобы получить первоначальную цену товара?

15. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, сухие -12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

16. На некотором участке пути машинист увеличил скорость поезда на 25%. На сколько процентов уменьшилось время прохождения этого участка?

17. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке 10%, во втором - 40%. Когда их сплавили, получился слиток, в котором содержится 30% меди. Найти массу полученного слитка.

18. Первый сплав содержит 5% меди, второй -13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава.

19. Смешали 10%-й и 25%-й растворы соли и получили 3 кг 20%-го раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

20. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке соотношение золота к меди равно 1:2, а во втором 2:3. Если сплавить треть первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было в первой меди, а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

21. Из двух растворов с различным процентным содержанием спирта и массой m г и n г отлили по одинаковому количеству раствора. Каждый из отлитых растворов долили в остаток от другого раствора, после чего процентное содержание спирта в обоих полученных растворах стало одинаковым. Сколько раствора было отлито из каждого сосуда?

22. Имеются два сосуда. В одном содержится 3 л 100%-й серной кислоты, а в другом - 2 л воды. Из первого сосуда во второй перелили стакан кислоты, а затем из второго в первый - один стакан смеси. Операцию повторили ещё 2 раза. В результате во втором сосуде образовалась 42%-я серная кислота. Каков процент кислоты в первом сосуде?

23. 13-й член арифметической прогрессии равен 5. Найти сумму первых 25 её членов.

24. Найти сумму членов геометрической прогрессии с 15 по 21 включительно, если сумма первых семи членов прогрессии равна 14, а сумма первых четырнадцати её членов равна 18.

25. В геометрической прогрессии с чётным числом членов сумма всех её членов в 3 раза больше суммы членов с нечётными номерами. Найти знаменатель прогрессии.

26. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Если затем третье число увеличить на 9, то снова получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

27. Какое наибольшее значение может принять сумма первых п членов арифметической прогрессии 119,115, 111...?

28.Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии 119, 115, 111…?

29. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 9, а сумма её членов равна 40,5. Найдите сумма кубов членов этой прогрессии.

30.В арифметической прогрессии, разность которой отлична от 0, сумма первых 3n членов равна сумме следующих n членов. Найти отношение суммы первых 2n членов к сумме следующих 2n членов.

31.Точки P и Q лежат на ребрах B1C1 и BC куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 10 соответственно причём B1P=CQ=2. Найдите углы наклона к плоскости (APQ) всех рёбер и граней куба.